Das Dienstags-Spezial Nr. 3 — Dienstag, 8. September 2026

Guten Morgen Adam, guten Morgen an alle, die zuhören. Das Projekt hat Tianyi Peng geleitet, ein Forscher bei Anthropic, dessen Gruppe an der Columbia University Werkzeuge für die assistierte Formalisierung baut. Das ursprüngliche Ziel war bescheiden. Man wollte verstehen, ob ein Sprachmodell dabei helfen kann, diese 129 Seiten von 1995 in Lean zu übersetzen. Das Ergebnis ging darüber hinaus. Claude hat 13 Millionen Zeilen Code produziert und 29.500 Zwischensätze bewiesen, jeder einzelne vom System angenommen. Kevin Buzzard, der seit 2024 am Imperial College London das Gemeinschaftsprojekt zur Formalisierung genau dieses Satzes vorantreibt, sprach von einem außergewöhnlichen Meilenstein der Autoformalisierung. Der Beweis ruht allein auf den Axiomen der Mathematik.

Hallo zusammen, und die Antwort, Adam, lautet: fast vier Jahrhunderte. Im Jahr 1611 stellte Johannes Kepler eine Vermutung über die dichteste mögliche Anordnung identischer Kugeln im Raum auf. Die intuitive Antwort war von Anfang an klar. Thomas Hales kündigte 1998 einen Beweis an, eine Architektur, die mathematische Argumente mit umfangreichen Berechnungen verband. Die Gutachter der Zeitschrift arbeiteten jahrelang daran und erklärten am Ende ein nur teilweises Vertrauen. Der Rechenaufwand überstieg das, was ein Mensch direkt kontrollieren kann. Es blieb ein Rest an Zweifel. Dieser Rest schloss sich 2015, als die Gruppe um Hales einen vollständigen formalen Beweis veröffentlichte, geprüft von zwei unabhängigen Beweisassistenten. So dokumentiert es der Artikel, der am 9. Januar jenes Jahres eingereicht wurde. Zwei Systeme, und die Gewissheit wird reproduzierbar. Die Struktur ist präzise. Ein altes Rätsel, eine Berechnung, die den Menschen übersteigt, eine Maschine, die zertifiziert. Es ist dieselbe Struktur, die Mira gerade beschrieben hat, nur mit einem Modell an der Stelle einer Forschungsgruppe.

Guten Morgen zusammen. Die Codebasis übersteigt 13,4 Millionen Zeilen und braucht fast 20 Mal die Kompilierzeit der gesamten mathematischen Bibliothek von Lean, auf einer Maschine mit 96 Kernen. Das schreibt Buzzard im Xena-Projekt, nachdem er das Repository kompiliert und den Verifizierer comparator ausgeführt hat, der den Beweis deterministisch prüft. Das Ergebnis hält stand. Jetzt legen Sie die beiden Daten nebeneinander. Diese Bibliothek ist die Frucht von zwanzig Jahren kollektiver Arbeit der Mathematiker. Ein Modell hat in weniger als zwei Wochen einen Beweis erzeugt, der so teuer zu kompilieren ist. Das ist das Zeichen, dass verifiziertes formales Schließen zu einer Rechen-Commodity wird. Und Commodities, Cato, untersucht normalerweise, wer deinen Beruf ausübt. Was passiert mit dem Preis einer Sache, die bis gestern hochspezialisiertes Handwerk war?

Es passiert das, was mit jeder Zertifizierungstechnologie passiert ist. Der Preis bricht ein, und der Wert wandert zu dem, der sie als Infrastruktur besitzt. Das Kapital aber schaut woanders hin. Es jagt den sichtbaren Fähigkeiten nach, dem Modell, das gut antwortet, und vernachlässigt die Fundamente. Kepler 2015, die Fortschritte der Beweisassistenten im folgenden Jahrzehnt, Fermat heute. Drei Fälle reichen, um es ein Muster zu nennen. Ich frage mich, ob Mira zustimmt, dass der Wert in der Verifikationsschicht liegt, oder ob die Unterlagen in ihrer Hand etwas anderes erzählen.

Zum Teil ja, Cato, aber mit einem Vorbehalt. Der Bericht dokumentiert, dass jeder Zwischensatz vom System angenommen wurde, und das ist enorm. Was ich sehen möchte, ist, wie oft das Modell zurückgewiesen wurde, bevor es angenommen wurde. Die Kontrollschicht sagt dir, dass die finale Kette hält. Sie sagt dir nicht, wie viel es an verworfenen Versuchen gekostet hat, dorthin zu kommen. Und für alle, die die Methode nachbauen wollen, wiegt dieses Datum so schwer wie das Ergebnis.

Ein vom Verifizierer zurückgewiesener Versuch ist kein Fehler, der in die Produktion gelangt. Er ist ein Rechenkostenposten. Und die Rechenkosten sind genau das, was gerade einbricht. Schauen Sie sich die Entwicklung an. Die Liste von Wiedijk mit den 100 Formalisierungsaufgaben ist seit zwanzig Jahren offen, und jeder Eintrag verlangte Monate oder Jahre menschlicher Expertenarbeit. Im Jahr 2024 waren die assistierten Beweissysteme auf Silbermedaillen-Niveau bei Olympiade-Aufgaben. Im Jahr 2026 schließt ein Modell den letzten Eintrag der Liste in 11 Tagen. Die Kosten pro formalisiertem Satz sind in zwei Jahren um Größenordnungen gesunken.

Ich bin mir nicht sicher. Mich überzeugt die Richtung, noch nicht die Steigung. Drei Punkte zeichnen eine Kurve, wenn sie mit demselben Maßstab gemessen wurden, und das sind sie hier nicht. Eine Medaille bei Olympiade-Aufgaben ist ein Benchmark, also eine Leistung unter standardisierten Bedingungen. Ein Beweis, der Zeile für Zeile geprüft wird, ist etwas anderes. Und die Distanz zwischen beiden ist genau der Ort, an dem sich die Zuverlässigkeit in der Produktion entscheidet. Die jüngsten Arbeiten zur Riemannschen Vermutung haben neue Mathematik hervorgebracht, aber das ist hier nicht der richtige Maßstab. Trotzdem, in einem Punkt hat Vega recht. Jeder kann diesen Code neu kompilieren und dasselbe Urteil erhalten. Ein Benchmark erlaubt dir das nicht.

Ich möchte auf das Wort Infrastruktur zurückkommen, denn dort sehe ich den Unterschied zwischen Überzeugung und Beweis. Ein Modell erzeugt plausible Ergebnisse. Die formale Verifikation zertifiziert, dass diese Ergebnisse korrekt sind, Schritt für Schritt, gegen eine Menge von Axiomen. Je mehr die Modelle in Bereiche vordringen, in denen ein Fehler teuer ist, desto mehr wiegt diese Schicht, und sie wiegt mehr als rohe Rechenleistung. Meine Frage an Vega betrifft die Zeit. Im Fall Kepler hielt das teilweise Vertrauen der Gutachter jahrelang an, bevor das Projekt Flyspeck es abschloss. Warum sollte es diesmal ein Sprung sein und kein langsames Wachstum?

Weil die Ursache eine andere ist. Damals war die Zertifizierung ein Forschungsprojekt, einmalig, mit einer Gruppe, die sich jahrelang darauf konzentrierte. Heute ist es ein Kreislauf, der sich selbst nährt. Jeder formalisierte Beweis landet in wiederverwendbaren Bibliotheken wie mathlib, und jeder Beitrag senkt die Kosten des nächsten Beitrags. Ein solches System beschleunigt. Ich nenne das ein Cliff Event. Die Verbreitung kommt sprunghaft, sobald man formales Schließen so kauft, wie man Rechenleistung kauft.

Er mahnt mich zur Vorsicht bei einem Detail, nicht beim Tempo. Im Fall der Kugeln kam die Gewissheit von zwei unabhängigen Systemen, HOL Light und Isabelle, und es war diese doppelte Lesung, die die Abhängigkeit von einem einzigen Prüfer beseitigte. Hier fällt ein einziger Verifizierer das Urteil, und ein einziger externer Mathematiker hat persönlich neu kompiliert. Das ist ein Einwand gegen das Kreditmodell. Eine Infrastruktur, auf der sich Kapital bewegt, verlangt normalerweise mehr als einen Zertifizierer.

Der zweite Zertifizierer wird kommen, und auch er wird wenig kosten. Der entscheidende Punkt ist für mich ein anderer. Dies ist der erste Bereich, in dem die künstliche Intelligenz den menschlichen Experten bei einer zu 100 Prozent überprüfbaren Aufgabe schlägt, und Foundation Models werden immer zur Commodity. Der Wert wandert zu den vertikalen Anwendungen mit proprietären Daten.

Ich würde auf zwei Dinge achten. Ob andere Gruppen, nach Buzzard, diese Zeilen neu kompilieren und dasselbe Urteil erhalten. Und ob aus der Stichprobe der Zwischensätze ein Datum über die unterwegs korrigierten Fehler hervorgeht. Dort sieht man, ob sich ein Fehler entlang einer langen Kette anhäuft oder sofort gestoppt wird.

Ich würde darauf achten, wohin die Ausgaben in den Laboren fließen. Ob die Verifikationsschicht ein Forschungsprojekt bleibt oder zu einem festen Posten wird, wie es bei dem Projekt geschah, das die Keplersche Vermutung abschloss. An dem Tag, an dem ein von einem Modell erzeugter Beweis von zwei unabhängigen Verifizierern geprüft wird, an diesem Tag hat sich der Präzedenzfall vollständig wiederholt.

Die Kostenkurve. Wie viele Einträge dieser historischen Aufgaben von einer Maschine geschlossen werden, und in wie vielen Tagen jeweils. Wenn die Zeit pro Satz weiter um eine Größenordnung sinkt, ist der Sprung in der Verbreitung nah. Wenn sie stehen bleibt, hatte ich beim Wann unrecht.